ให้ P(x,y) เป็นจุดใดๆ บนพาราโบลา
PR = PQ
= 
x2 - 2cx + c2 + y2 = x2 - 2cx + c2
y2 = 4cx เมื่อ c > 0
ข. แกนของพาราโบลาคือแกน x และโฟกัสอยู่ที่ (c,0) เมื่อ c < 0
ไดเรกตริกซ์ คือ เส้นตรง x = -c กราฟของพาราโบลาเปิดซ้าย
ใช้วิธีการเดียวกับ ข้อ ก. จะได้สมการของพาราโบลา y2 = 4cx เมื่อ c < 0
จากรูปที่ 2 เรียก AB ว่า เลตัสเรกตัมของพาราโบลา เราสามารถคำนวณหา AB ได้ ซึ่งก็คือ ความกว้างของ พาราโบลา ที่โฟกัส
สมมุติให้ พิกัดของ A คือ (x,c) ดังนั้น
x2 = 4 c c
x2 = 4 c2
ดังนั้น x = 2c (เพราะว่า x> 0)
แสดงว่า AF = 2c
เพราะฉะนั้น AB = 2 AF = 4c
นั้นคือ ความยาวของลาตัสเรกตัม = 4c = |4 c| หน่วย
โดยทั่วไป สำหรับพาราโบลา ในลักษณะอื่นๆ เราสามารถแสดงได้ว่า
ความยาวของลาตัสเรกตัม (L.S.) = |4 c| หน่วย
ค. แกนของพาราโบลาคือแกน y และโฟกัสอยู่ที่ (0,2) เมื่อ c > 0
ไดเรกตริกซ์ คือเส้นตรง y = -c กราฟของพาราโบลาจะหงาย
มีสมการ x2 = 4cy เมื่อ c > 0สมมุติให้ P(x,y) เป็นจุดๆบนพาราโบลา
จากนิยาม PF = PQ
= 
x2 + y2 - 2cy + c2 = y2 + 2cy + c2
x2 = 4cy เมื่อ c > 0 ง. แกนของพาราโบลาคือแกน y และโฟกัสอยู่ที่ (0,c) เมื่อ c < 0
ไดเรกตริกซ์ คือ เส้นตรง y = -c กราฟของพาราโบลาจะคว่ำ
ด้วยวิธีเดียวกับข้อ ค. จะได้สมการพาราโบลา
x2 = 4cy เมื่อ c < 0
สรุป : รูปแบบและลักษณะของพาราโบลาที่มีจุดยอดอยู่ (0,0)
การหาสมการของพาราโบลาที่จุดยอดที่จุด (h,k) และมีแกนขนานกับ แกน x หรือแกน y
1. เมื่อแกนของพาราโบลาขนานกับแกน x
รูปที่ 1 แสดงพาราโบลาเมื่อ c > 0
ให้ จุดยอด อยู่ที่ (h,k)
โฟกัส อยู่ที่ (h + c,k)
ไดเรกตริกซ์เป็นเส้นตรง ที่ x = h - c
ย้ายแกน ให้จุด (0,0) เลื่อนไปที่จุด 0' (h,k)
ระยะห่างระหว่างจุดยอดกับโฟกัสเท่ากับ |c|หน่วย
ดังนั้น สมการของพาราโบลาเมื่อเทียบกับแกนใหม่คือ
(y')2 = 4cx'
แต่ถ้าพิกัดของ P เมื่อเทียบกับแกนเดิมคือ (x,y) จะได้ว่า
y' = y - k และ x' = x - h
ดังนั้น สมการของพาราโบลา เทียบกับแกนเดิมคือ
รูปที่ 2 แสดงพาราโบลา เมื่อ c < 0
ด้วยวิธีการเลื่อนแกนทางขนาน เช่นเดียวกับ ข้อ 1 สมการของพาราโบลาคือ
จากสมการ (y - k)2 = 4c(x - h)
กระจายได้ y2 - 2ky + k2 = 4cx - 4ch
y2 - 2ky + - 4cx + k2 + 4ch = 0
เมื่อ A = -2k , B = -4c , C = k2 + 4ch
จะได้ y2 + Ay + Bx + C = 0
จะได้ สมการของพาราโบลาที่มีแกนของพาราโบลา ขนานกับ แกน x จะได้ สมการของพาราโบลา ในรูปทั่วไป
2.เมื่อแกนของพาราโบลาขนานกับแกน y
รูป 3 แสดงพาราโบลา เมื่อ c > 0
ให้ จุดยอด อยู่ที่ (h , k)
โฟกัสอยู่ที่ (h , k + c)
ไดเรกตริกซ์เป็นเส้นตรง y = k - c
ย้ายแกนให้จุด (0,0) เลื่อนไปที่จุด 0' (h,k)
ระยะห่างระหว่างจุดยอดกับ โฟกัสเท่ากับ ฝcฝหน่วย
ดังนั้น สมการของพาราโบลาเมื่อเทียบกับแกนใหม่คือ
(x')2 = 4cy'
แต่ถ้าพิกัด ของ P เมื่อเทียบกับแกนเดิม คือ (x,y) จะได้ว่า
x' = x - h และ y' = y - k
ดังนั้นสมการของพาราโบลา เทียบกับแกนเดิมคือ
รูป 4 แสดงพาราโบลา เมื่อ c < 0
ด้วยวิธีการเลื่อนแกนทางขนาน เช่นเดียวกับข้อ 2 สมการของพาราโบลา คือ
| (x - h)2 = 4c(y - k) เมื่อ c < 0 |
| เมื่อ c < 0 |
จากสมการ (x - h)2 = 4c(y - k)
กระจายได้ x2 - 2hx + h2 = 4cy - 4ck
x2 - 2hx - 4cy + h2 + 4ck = 0
เมื่อ A = -2k , B = -4c , c = h2+ 4ck
จะได้ y2 + Ay + Bx + C = 0 เมื่อ
ดังนั้น สมการของพาราโบลาที่มีแกนของพาราโบลา ขนานกับแกน y จะได้สมการของพาราโบลา ในรูปทั่วไป
สรุป : รูปแบบและลักษณะของพาราโบลา ที่มีจุดยอดอยู่ที่ (h,k)
ข้อสังเกต1. การดูลักษณะของพาราโบลา ว่าจะหงาย คว่ำ เปิดด้านขวา หรือด้านซ้าย ให้ดูแกนของพาราโบลา และเครื่องหมายของ c
2. การดูแกนของพาราโบลา ให้ดูตัวแปรในสมการว่าตัวแปรใดมีกำลังสูงสุดเท่ากับหนึ่ง แกนของพาราโบลา จะขนานกับแกนพิกัดของ ตัวแปรนั้น เช่น (x-h)2 = 4c(y-k) จะมีแกนของพาราโบลาขนานกับแกน y เป็นต้น
3. |c| = c = ระยะห่างระหว่าง จุดยอดและโฟกัส = ระยะห่างระหว่างจุดยอดและไดเรกตริกซ์
4. การหาพิกัดของโฟกัสและสมการไดเรกตริกซ์ เพียงแต่ใช้จุดยอด และ |c| เป็นหลักในการหาก็เพียงพอ |
|
